کتاب معادلات دیفرانسیل رشته برق

کتاب معادلات دیفرانسیل رشته برق

کتاب معادلات دیفرانسیل
رشته برق  کتاب های آمادگی آزمون
کارشناسی ارشد سراسری رشته برق گرایش مخابرات ویژه کنکور سال 95 – به همراه تست ها
و پاسخ تشریحیفهرست مطالب فصل اول: فیتعار هیاول
معادلات نسید لیفرا
………………………………………………………………………………….9معادلات سید لیفران مرتبه
اول……………………………………………………………………………………
……………11معادلات مرتبه اول یجدائ
ریپذ ( کیتفک ریپذ ) ………………………………………………………………………………..11معادلات سید لیفران
همگن…………………………………………………………………………………………………….13معادلات سید لیفران مرتبه
اول از نوع
کامل……………………………………………………………………………………
.17عامل انتگرال
ساز………………………………………………………………………………………………………………19قضیه
اولر:………………………………………………………………………………………………………………..
……20معادله یخط مرتبه
اول………………………………………………………………………………………………………….25معادله یبرنول
………………………………………………………………………………………………………………..
..27معادله تیر یکا
………………………………………………………………………………………………………………..
.30معادله
لاگرانژ………………………………………………………………………………………………………………..
..30دو کاربرد از معادلات نسید
لیفرا مرتبه
اول…………………………………………………………………………………….31دستههاي منحنیها و
مسیرهاي قائم
……………………………………………………………………………………
…….31مسیرهاي قائم در مختصات
دکارتی……………………………………………………………………………………
………31مسیرهاي قائم در مختصات
قطبی……………………………………………………………………………………
………..32مسیرهاي مایل
………………………………………………………………………………………………………………..32پوش
منحنی………………………………………………………………………………………………………………..
…33تست يها یفیتأل فصل اول
……………………………………………………………………………………..
………….. 34جواب يها یفیتأل بخش اول ……………………………………………………………………………………
……………..42فصل دوم: معادلات
دیفرانسیل مرتبه دوم
…………………………………………………………………………………..59استقلال خطی
جوابها………………………………………………………………………………………………………….6فصل اول: تعاریف اولیه
معادلات دیفرانسیل  تعریف :1 یک معادله
دیفرانسیل، معادله اي است که ارتباط بین تابع و مشتقات آن و متغیر (هاي) مسـتقل
موجـود در آن تـابع رانشان می دهد. اگر تابع مورد نظر تنها
از یک متغیر تبعیت کند، معادله دیفرانسیل حاکم بر آن از نوع معمولی و در غیر این
صورت از نوع مشتقاتجزئی خواهد بود.تعریف :2 بزرگترین مرتبه
مشتق موجود در یک معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل می نامند. در معادلات دیفرانسیل
معمولی اگر بتوان معادله را بر حسب بالاترین مرتبه مشتق به صورت یـک چنـد جملـه اي
نوشـت، آن گـاهدرجه آن چند جمله اي را
درجه معادله دیفرانسیل می گوییم. yyyxF نمـایش مـی
n بطور کلی معادله دیفرانسیل مرتبه n ام با متغیر مستقل x و متغیر وابسته
y را بـه صـورت (0 = ),,’,…,دهیم. در مثال قبل معادلات (3
1) و ( 4) و ( ) از مرتبه اول و معادله (2 ) از مرتبه دوم اسـت و همچنـین معـادلات
( (2 1) و )4) و ( درجـهیک و معادله (3) درجه سه
هستند. 2 2 2 مثال 2. درجه و مرتبه
معادله دیفرانسیل)2(”” yxyeyyxx+=+ را مشخص کنید. معادله فوق از مرتبه سه و
درجه یک است. تعریف :3 هر معادله به
صورت زیر را معادله دیفرانسیل خطی می گوییم. تعریف 4: تابع (y=f(x را یک جواب
معادله دیفرانسیل (0 ),,’,…,=nyyyxF می گوییم، هرگاه در معادله
صدق کند. تعریف :5 جواب عمومی یک
معادله دیفرانسیل جوابی است که شامل یک یا چند ثابت دلخواه بوده و اگر هر مقدار
دلخواهی را بـهثاب تها نسبت دهیم و حاصل
کار در معادله مورد نظر صدق نماید. ثابت می شود ، هر معادله
دیفرانسیل مرتبه n ام معمولی در جواب عمومی خود می تواند شامل n ثابت اختیاري (پارامتر) باشد. اگر جواب عمومی را تحت
شرایط اولیه یا مرزي داده شده در مسأله قرار داده و ثابت هـا را تعیـین کنـیم،
جـواب حاصـله را جـوابخصوصی معادله تحت آن
شرایط مینامیم
. تعریف :6 جواب غیر عادي
یک معادله دیفرانسیل تابعی است که بر تمام منحنی هاي مربوط به جواب عمومی مماس می
باشـد، درضمن (I) جواب غیر عادي از جواب عمومی بدست نمی
آید (II) معادلات خطی جواب غیرعادي ندارند. += yy با شرط اولیه
y(0)=4 را در نظر بگیرید. این معادله داراي جواب عمومی
)(1622-+= ycx است زیرا در معادله
صدق مـی کنـد. همچنـین از شـرط اولیـه داده شـده+= yx یک جـواب خصوصـی
معادلـه دیفرانسـیل اسـت. از طرفـی بـدیهی اسـت خطـوط 22 خواهیم داشت
c=0، از این رو 16y = ±4 نیز جواب معادله
خواهد بود. نکته: هرگاه عامل
انتگرالساز بصورت تابع ضربی از توا نهاي x و توا نهاي y باشد یعنیm yx= باشد، میتوان با ضرب
کردنba طرفین معادله درyx و اعمال کردن شرط کامل
بودن معادله مجهولات a و
b . را تعیین کرد قضیه: اگر معادله dyy,xNdxy,xM( ) + ( ) کامل نباشد و Cy,xu = ( ) جواب آن
باشد آنگاه بینهایت فاکتور انتگرال دارد. نکته: اگر معادله
دیفرانسیل داراي یک فاکتور انتگرال باشد آنگاه داراي بینهایت فاکتور انتگرال استدو کاربرد از معادلات
دیفرانسیل مرتبه اول دسته هاي منحنیها و
مسیرهاي قائم یک دسته منحنی پارامتري
به صورت 0c,y,xf = ( ) داریم که به ازاء هر مقدار پارامتر c یک منحنی در صفحه xy ایجاد میکندحال میخواهیم یک دسته
منحنی پارامتري (
k,y,xg ) پیدا کنیم که بر دسته منحنی ( c,y,xf ) عمود باشد. (یعنی زاویه بینمماسهایشان در نقطه تقاطع
) 90 باشد مسیرهاي قائم در مختصات
دکارتی براي تعیین مسیرهاي قائم
خانواده منحنی (
k,y,xg ) به ترتیب زیر میتوان نوشت: 1) معادله دیفرانسیل
g را به صورت ( k,y,xg ) مرتب .
میکنیم  2) در
f به جاي ¢y مقدارy1¢- . میگذاریم 3) حل معادله دیفرانسیل
قسمت قبل، مسیرهاي قائم منحنی g را مشخص میکند. تس تهاي تألیفی فصل اول  -1 مسیرهاي قائم
خانواده خطوط x + 2y = 2 را به دست آورید
(C پارامتر – دلخواهی است)  {-2,-1} (د {2,-1} (ج
{- 2,1} (ب {2,1} (الف -2 ناحی هاي از صفحه
xy که در هر نقطه آن وجود و یکتایی جواب معادله زیر تضمین
میشود کدام است؟  2x + 5y ¹ o (ب 2x
+ 5y ¹ o (الف x + 6y ¹ o (د
x + 4y ¹ o (ج -3 جواب عمومی معادله
ي دیفرانسیلکدام است؟ )(xy( )xy (الف 22=+- C)xy()xy( (ب 2 -+ 4222 2 4=-+ C)xy()xy( (ج222)(xy( =+- C)xy (د 2 422 2 4 -4 براي کدام معادلهي
دیفرانسیل عناصر میدان امتدادي، در همهي نقاط هر خط موازي محور
x، متوازي اند؟ 2 الف) += yxy2 ¢ = 1- 2 – )y()y(y (ب ج) 2xyy = ¢ د) yxxy- ¢ = -5 جوابهاي عمومی
معادلهاي دیفرانسیل222xy ¢ += 3yxyکدام است؟ 332 الف) cxyx += ب) 322 =+ cxyxج) cxyx +=22 د) 223 =+
cxyx است؟ کدام 2cos
sinx ydx + sin cosx ydy = o دیفرانسیل هي معادل عمومی جواب
6- cos inx = cys (الف 2cos cosy = cy (ب 2 cos osx = cyc (ج2sin sinn = cy (د 2 جوابهاي تألیفی بخش
اول  -1 گزینه (4) صحیح
است. با جایگذاري در معادله
داریم: =++- o m- m- m1 4xmxx)m(mx 2×2 2 1 -1 + m)m(m + 2 = o اینکه که توابع ,fyfپیوسته باشند باید
مخرجهایشان مخالف صفر باشد.  -3 گزینه (3) صحیح
است. معادلۀ همگن است با فرض y = xu داریم
¢ uxuy + = ¢ و معادله به شکل زیر در میآید: 1 2 Ln) nx)u( LnL /و با جایگذاريxyk = c و
u =-4: داریم (y + x) (y – x)c Þ (y + x) (y – x ) = c 3 2 2 2 2 2 4 -4 گزینه (2) صحیح
است. چون طرف دوم معادله فقط
در گزینه ( 2) مستقل از x است بنابراین عناصر میدان امتدادي در همهي نقاط هر خط موازي محورx، خود متوازياند
(بولیس).  -5 گزینه (2) صحیح
است. معادله همگن است با فرض xuy,uxuy = ¢ + = ¢ : داریم معادلات دیفرانسیلو با ضرب2x در طرف دوم داریم: 2 2 3=+ cxyx -6 گزینه (4) صحیح
است.  16)1( دیفرانسیل معادله
.3مثال 2 12